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Ich wurde schon h\u00e4ufiger gefragt, ob die Null eine nat\u00fcrliche Zahl ist. Das ist nat\u00fcrlich Definitionssache. Normalerweise wird sie nicht dazugez\u00e4hlt, und ich w\u00fcrde das auch nicht tun. Wenn man ein Kind fragt, z\u00e4hl doch bitte mal bis 10, dann wird wohl keines mit 0 anfangen. Also: keine sehr \"nat\u00fcrliche\" Zahl.<\/p>\n\n

Andererseits: In der VWL f\u00e4ngt man manchmal mit 0 an. Wenn man beispielsweise eine Zeitreihe hat, dann z\u00e4hlt man oft \\( t = 0, 1, 2, \\ldots \\), und die 0 ist dann \"heute\" oder \"der Moment an dem die erste Entscheidung getroffen wird\".<\/p>\n\n

Also: mal so mal so. Hier sind zwei Folgen die mit \\(n=0\\) starten.<\/p>\n"},"subContentId":"7a899bcc-3024-414a-aedd-f46c44d49434","metadata":{"contentType":"Text","license":"U","title":"Unbenannt: Text"}},"pause":false,"displayType":"poster","buttonOnMobile":false,"visuals":{"backgroundColor":"rgb(255, 255, 255)","boxShadow":true},"goto":{"url":{"protocol":"http:\/\/"},"visualize":false,"type":""},"label":""},{"x":0,"y":39.65558202572098,"width":39.25,"height":4.375,"duration":{"from":219.699,"to":229.699},"libraryTitle":"Text","action":{"library":"H5P.Text 1.1","params":{"text":"

Das stimmt. Aber dass man eine Zahl nach und nach immer genauer ausrechnet, und damit eine Folge bekommt die gegen diese Zahl konvergiert, das kommt schon mal vor.<\/p>\n"},"subContentId":"06c51262-aea0-4aeb-8287-b6c7aca83893","metadata":{"contentType":"Text","license":"U","title":"Unbenannt: Text"}},"pause":false,"displayType":"poster","buttonOnMobile":false,"visuals":{"backgroundColor":"rgb(255, 255, 255)","boxShadow":true},"goto":{"url":{"protocol":"http:\/\/"},"visualize":false,"type":""},"label":""},{"x":0,"y":0,"width":39.25,"height":5,"duration":{"from":326.268,"to":336.268},"libraryTitle":"Text","action":{"library":"H5P.Text 1.1","params":{"text":"

Kann man schon so sagen: Wenn in der Definition ein Summenzeichen vorkommt, dann sagt man eher \"Reihe\", sonst eher \"Folge\".<\/p>\n"},"subContentId":"4c8df783-1aa1-41e3-8003-529bc3bff1f7","metadata":{"contentType":"Text","license":"U","title":"Unbenannt: Text"}},"pause":false,"displayType":"poster","buttonOnMobile":false,"visuals":{"backgroundColor":"rgb(255, 255, 255)","boxShadow":true},"goto":{"url":{"protocol":"http:\/\/"},"visualize":false,"type":""},"label":""},{"x":0,"y":0,"width":17.5,"height":11.875,"duration":{"from":344.273,"to":354.273},"libraryTitle":"Single Choice Set","action":{"library":"H5P.SingleChoiceSet 1.11","params":{"choices":[{"subContentId":"1875b1b4-93a0-4fe4-a81d-2298d804b0b0","question":"

Was w\u00fcrden Sie vermuten?<\/p>\n","answers":["

\\( \\infty \\)<\/p>\n","

\\( -1\/12 \\)<\/p>\n","

\\( 12 \\)<\/p>\n"]}],"overallFeedback":[{"from":0,"to":100,"feedback":"Aber die Reihe konvergiert super langsam!"}],"behaviour":{"autoContinue":true,"timeoutCorrect":2000,"timeoutWrong":3000,"soundEffectsEnabled":true,"enableRetry":true,"enableSolutionsButton":true,"passPercentage":100},"l10n":{"nextButtonLabel":"Weiter","showSolutionButtonLabel":"L\u00f6sung anzeigen","retryButtonLabel":"Wiederholen","solutionViewTitle":"L\u00f6sung","correctText":"Richtig!","incorrectText":"Falsch!","muteButtonLabel":"Stumm schalten","closeButtonLabel":"Schlie\u00dfen","slideOfTotal":"Seite :num von :total","scoreBarLabel":"Du hast :num von :total Punkten erreicht.","solutionListQuestionNumber":"Frage :num","a11yShowSolution":"Die L\u00f6sung anzeigen. Die richtigen L\u00f6sungen werden in der Aufgabe angezeigt.","a11yRetry":"Die Aufgabe wiederholen. Alle Versuche werden zur\u00fcckgesetzt und die Aufgabe wird erneut gestartet."}},"subContentId":"7a182b24-b1be-419f-a037-aa2a925f76ba","metadata":{"contentType":"Single Choice Set","license":"U","title":"Unbenannt: Single Choice Set"}},"pause":true,"displayType":"poster","buttonOnMobile":false,"adaptivity":{"correct":{"allowOptOut":false,"message":""},"wrong":{"allowOptOut":false,"message":""},"requireCompletion":false},"label":""},{"x":0,"y":0,"width":39.25,"height":7.5,"duration":{"from":399.276,"to":409.276},"libraryTitle":"Text","action":{"library":"H5P.Text 1.1","params":{"text":"

Bei Interesse: Hier<\/a> ist der Beweis von Nikolaus von Oresme (1330 bis 1382), der sich auch mit VWL (Geld- und Wirtschaftspolitik) besch\u00e4ftigt hat. Es ist ja auch eine spannende Frage: Wenn ich unendlich viele Betr\u00e4ge zusammenwerfe, die aber immer kleiner werden, konvergiert mein Gesamtbetrag dann trotzdem gegen unendlich?<\/p>\n"},"subContentId":"ba966c62-9a29-45b9-bfe1-a75de5fac869","metadata":{"contentType":"Text","license":"U","title":"Unbenannt: Text"}},"pause":false,"displayType":"poster","buttonOnMobile":false,"visuals":{"backgroundColor":"rgb(255, 255, 255)","boxShadow":true},"goto":{"url":{"protocol":"https:\/\/","url":"de.wikipedia.org\/wiki\/Harmonische_Reihe#Divergenz"},"visualize":true,"type":"url"},"label":""},{"x":0,"y":0,"width":39.25,"height":11.875,"duration":{"from":598.464,"to":608.464},"libraryTitle":"Text","action":{"library":"H5P.Text 1.1","params":{"text":"

Ja, in diesem Film (und in dem letzten) gibt es ein wenig \"Nice-to-know\" Zusatzinfo. Das ist nat\u00fcrlich alles nicht klausurrelevant.<\/p>\n\n

Also, die Fermatsche Vermutung<\/a> wurde ca. 1640 aufgestellt und erst 1994 bewiesen. Es gibt ja nat\u00fcrliche Zahlen mit \\( a^2 + b^2 = c^2 \\), z.B. \\( 3^2 + 4^2 = 5^2 \\). Fermat hat vermutet, dass das nur klappt mit 2 im Exponenten. F\u00fcr gr\u00f6\u00dfere Exponenten geht es nicht. \u00dcberraschend: Obwohl die Frage so einfach ist, hat es \u00fcber 300 Jahre gedauert um sie zu knacken.<\/p>\n"},"subContentId":"34f3e005-b722-49e7-82db-1e969b9b45d4","metadata":{"contentType":"Text","license":"U","title":"Unbenannt: Text"}},"pause":false,"displayType":"poster","buttonOnMobile":false,"visuals":{"backgroundColor":"rgb(255, 255, 255)","boxShadow":true},"goto":{"url":{"protocol":"http:\/\/"},"visualize":false,"type":""},"label":""},{"x":0,"y":0,"width":39.25,"height":11.875,"duration":{"from":638.959,"to":648.959},"libraryTitle":"Text","action":{"library":"H5P.Text 1.1","params":{"text":"

Hier<\/a> ist ein \"einleuchtender\" Beweis dieser Formel auf einem meiner Lieblingskan\u00e4le.<\/p>\n\n

Noch ein Fun Fact: Die Summe aller Kehrwerte in der n-ten Potenz, das ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Also, hier haben wir Zeta(2) berechnet, und Zeta(1) = unendlich, das hatten wir eben. Die Funktion hat auch Nullstellen<\/a>. Wenn Sie die bestimmen, werden Sie zur ber\u00fchmtesten Mathematiker'in der Welt! <\/p>\n\n

Ab dem n\u00e4chsten Film gibt es keine \"Nice-to-know\" Zusatzinfo mehr, versprochen!<\/p>\n"},"subContentId":"9b24be62-e08c-470d-9d72-ea6ef65ffc17","metadata":{"contentType":"Text","license":"U","title":"Unbenannt: Text"}},"pause":false,"displayType":"poster","buttonOnMobile":false,"visuals":{"backgroundColor":"rgb(255, 255, 255)","boxShadow":true},"goto":{"url":{"protocol":"http:\/\/"},"visualize":false,"type":""},"label":""},{"x":39.80744651439917,"y":0,"width":23.615625381469727,"height":12.5,"duration":{"from":674.246,"to":675.246},"libraryTitle":"Single Choice Set","action":{"library":"H5P.SingleChoiceSet 1.11","params":{"choices":[{"subContentId":"aa3ca1b0-7d76-4daa-afe0-854b9cf436ef","question":"

Gegen welche Zahl konvergiert diese Folge?<\/p>\n","answers":["

\\( e \\)<\/p>\n","

\\( \\infty \\)<\/p>\n","

\\( 12 \\)<\/p>\n"]}],"overallFeedback":[{"from":0,"to":100,"feedback":"Dar\u00fcber hatten wir schon gesprochen..."}],"behaviour":{"autoContinue":true,"timeoutCorrect":2000,"timeoutWrong":3000,"soundEffectsEnabled":true,"enableRetry":true,"enableSolutionsButton":true,"passPercentage":100},"l10n":{"nextButtonLabel":"Weiter","showSolutionButtonLabel":"L\u00f6sung anzeigen","retryButtonLabel":"Wiederholen","solutionViewTitle":"L\u00f6sung","correctText":"Richtig!","incorrectText":"Falsch!","muteButtonLabel":"Stumm schalten","closeButtonLabel":"Schlie\u00dfen","slideOfTotal":"Seite :num von :total","scoreBarLabel":"Du hast :num von :total Punkten erreicht.","solutionListQuestionNumber":"Frage :num","a11yShowSolution":"Die L\u00f6sung anzeigen. Die richtigen L\u00f6sungen werden in der Aufgabe angezeigt.","a11yRetry":"Die Aufgabe wiederholen. Alle Versuche werden zur\u00fcckgesetzt und die Aufgabe wird erneut gestartet."}},"subContentId":"f9ee8fe2-c11b-42df-b5fb-504dfae12063","metadata":{"contentType":"Single Choice Set","license":"U","title":"Unbenannt: Single Choice Set"}},"pause":true,"displayType":"poster","buttonOnMobile":false,"adaptivity":{"correct":{"allowOptOut":false,"message":""},"wrong":{"allowOptOut":false,"message":""},"requireCompletion":false},"label":""}],"endscreens":[{"time":845,"label":"14:05 Antwort\u00fcbermittlung"}]},"summary":{"task":{"library":"H5P.Summary 1.10","params":{"intro":"W\u00e4hle die korrekte Aussage.","summaries":[{"subContentId":"9eb26201-58e6-40db-8796-f327e99f6d23","tip":""}],"overallFeedback":[{"from":0,"to":100}],"solvedLabel":"Fortschritt:","scoreLabel":"Falsche Antworten:","resultLabel":"Dein Ergebnis","labelCorrect":"Richtig.","labelIncorrect":"Falsch! Bitte versuche es noch einmal.","alternativeIncorrectLabel":"Falsch","labelCorrectAnswers":"Richtige Antwort(en).","tipButtonLabel":"Tipp anzeigen","scoreBarLabel":"Du hast :num von :total Punkten erreicht.","progressText":"Fortschritt :num von :total"},"subContentId":"24ef5607-9167-4741-8e5d-74a13789a780","metadata":{"contentType":"Summary","license":"U","title":"Unbenannt: Summary"}},"displayAt":3}},"override":{"autoplay":false,"loop":false,"showBookmarksmenuOnLoad":false,"showRewind10":false,"deactivateSound":false,"preventSkippingMode":"none"},"l10n":{"interaction":"Interaktion","play":"Abspielen","pause":"Pause","mute":"Stummschalten","unmute":"Lautschalten","quality":"Videoqualit\u00e4t","captions":"Untertitel","close":"Schlie\u00dfen","fullscreen":"Vollbild","exitFullscreen":"Vollbild beenden","summary":"Zusammenfassung \u00f6ffnen","bookmarks":"Lesezeichen","endscreen":"Einsendebildschirm","defaultAdaptivitySeekLabel":"Fortfahren","continueWithVideo":"Video fortsetzen","playbackRate":"Abspielgeschwindigkeit","rewind10":"10 Sekunden zur\u00fcckspulen","navDisabled":"Vor- und Zur\u00fcckspulen ist deaktiviert","sndDisabled":"Ton ist deaktiviert","requiresCompletionWarning":"Es m\u00fcssen alle Fragen richtig beantwortet werden, um weitermachen zu k\u00f6nnen.","back":"Zur\u00fcck","hours":"Stunden","minutes":"Minuten","seconds":"Sekunden","currentTime":"Aktuelle Zeit:","totalTime":"Gesamtzeit:","singleInteractionAnnouncement":"Interaktion ist erschienen:","multipleInteractionsAnnouncement":"Mehrere Interaktionen sind erscheinen.","videoPausedAnnouncement":"Video ist angehalten","content":"Inhalt","answered":"@answered beantwortet","endcardTitle":"@answered Frage(n) beantwortet","endcardInformation":"Du hast @answered Fragen beantwortet. Klicke unten, um deine Ergebnisse abzusenden.","endcardInformationNoAnswers":"Du hast noch keine Fragen beantwortet.","endcardInformationMustHaveAnswer":"Du musst mindestens eine Frage beantworten, um deine Antworten absenden zu k\u00f6nnen.","endcardSubmitButton":"Antworten absenden","endcardSubmitMessage":"Deine Antworten wurden abgeschickt!","endcardTableRowAnswered":"Beantwortete Fragen","endcardTableRowScore":"Punkte","endcardAnsweredScore":"beantwortet","endCardTableRowSummaryWithScore":"Du hast @score von @total Punkten f\u00fcr die @question erhalten, die bei @minutes Minuten und @seconds Sekunden erschienen ist.","endCardTableRowSummaryWithoutScore":"Du hast die @question beantwortet, die bei @minutes Minuten und @seconds Sekunden erschienen ist."}}